Многогранник - тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно рёбрами и вершинами многогранника.По числу граней различают 4-гранники, 5-гранники и т.д. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани,называется диагональю многогранника.
История открытия многогранника уходит корнями в древние времена. Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне .
Многогранник является пространственной фигурой (пространственным телом).Наглядно тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью. Многогранники изучаются в разделе стереометрия. Раздел геометрии, изучающий положение, форму, размеры и свойства пространственных фигур. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» - объемный, пространственный и «μετρεο» - измерять .
Примерами многогранников являются:
Куб - многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов.У куба (правильный гексаэдр) все грани – квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.Частный случай параллелепипеда и призмы. Куб имеет 12 ребер, 6 граней, 8 вершин .
Параллелепипед
- многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов.Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны. Диагональю параллелепипеда, как и многогранника, вообще, называется отрезок, соединяющий вершины параллелепипеда, не лежащие в одной его грани .
Прямоугольный параллелепипед
- параллелепипед, у которого грани- прямоугольники.Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, называются его измерениями или линейными размерами. У прямоугольного параллелепипеда три измерения .
Прямой параллелепипед - это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники .
Наклонный параллелепипед - это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям .
Призма
- многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований.Многоугольники, называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие их соответствующие вершины – боковыми рёбрами призмы.Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях. Боковые рёбра призмы равны и параллельны. Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности.Боковая поверхность любой призмы состоит из параллелограммов, у каждого из которых две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие – соседними боковыми рёбрами.Высотой призмы называется любой из перпендикуляров, проведённых из точки одного основания к плоскости другого основания призмы . 
Прямая призма
- называется, если её рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае призма называется наклонной.Боковыми гранями являются прямоугольники.Боковое ребро прямой призмы является её высотой .
Правильная призма - прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники .
Пирамида
- многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников, имеющих общую вершину. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами. Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания.Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.
Правильная пирамида
- пирамида, в основании которой правильный многоугольник и все боковые рёбра которой равны . Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту.Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины к стороне основания, называется апофемой .
Тела Платона - многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными. Углы при вершинах такого многогранника равны между собой.
Существует пять типов правильных многогранников. Эти многогранники и их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим философом Платоном, чем и объясняется их общее название.
Каждому правильному многограннику соответствует другой правильный многогранник с числом граней, равным числу вершин данного многогранника. Число ребер у обоих многогранников одинаково. К ним относятся:
Тетраэдр(огонь) - правильный четырехгранник. Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это - правильная треугольная пирамида).У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
У правильного тетраэдра грани – правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра.Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников .
Октаэдр(воздух)
- правильный восьмигранник. Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины.У октаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра.Правильный октаэдр двойственен кубу. Он является полным усечением тетраэдра. Правильный октаэдр является квадратной двойственной пирамидой в любом из трёх ортогональных направлений. Он также является треугольной антипризмой в любом из четырёх направлений.Октаэдр - трёхмерный вариант более общего понятия гипероктаэдр .
Гексаэдр(земля)
- правильный шестигранник. Это куб, состоящий из шести равных квадратов .
Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины. Додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра) .
Икосаэдр(вода)
- состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины. Число ребер равно 30, число вершин - 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм .
Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторонуот плоскости каждой его грани. Тетраэдр, параллелепипед и октаэдр - выпуклые многогранники.Ясно, что все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками. Легко можно доказать, что в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360° .
Для выпуклого многогранника верна теорема Эйлера В + Г − Р = 2, где В - количество вершин многогранника, Г - количество граней, Р - количество рёбер.
Выпуклый многогранник, все вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях, называется призматоидом. Призма, пирамида и усеченная пирамида – частные случаи призматоида. Все боковые грани призматоида являются треугольниками или четырехугольниками, причем четырехугольные грани – это трапеции или параллелограммы.
Так же многогранник делится на правильный и не правильный. Многогранник называется правильным, если его грани правильные многоугольники (т.е. такие, у которых все стороны и углы равны) и все многогранные углы при вершинах равны. Правильные многогранники известны с древнейших времён.В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками.Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Существует и полуправильные многогранники
- в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками, или имеются определённые пространственные симметрии. Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся, архимедовы тела.
Звёздчатый многогранник (звёздчатое тело) - это невыпуклый многогранник, грани которого пересекаются между собой. Как и у не звёздчатых многогранников, грани попарно соединяются в рёбрах (при этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами).Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам .
Правильные звёздчатые многогранники
- это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые (конгруэнтные) правильные или звёздчатые многоугольники. В отличие от пяти классических правильных многогранников (Платоновых тел), данные многогранники не являются выпуклыми телами .
В 1811 году Огюстен Лу Коши установил, что существуют всего 4 правильных звёздчатых тела (они называются телами Кеплера - Пуансо), которые не являются соединениями платоновых и звёздчатых тел. К ним относятся открытые в 1619 году Иоганном Кеплером малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр, а также большой додекаэдр и большой икосаэдр, открытые в 1809 году Луи Пуансо. Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кеплера - Пуансо .
Полуправильные звёздчатые многогранники - это звёздчатые многогранники, гранями которых являются правильные или звёздчатые многоугольники, но не обязательно одинаковые. При этом строение всех вершин должно быть одинаковым (условие однородности). Г. Коксетер, М. Лонге-Хиггинс и Дж. Миллер в 1954 году перечислили 53 таких тела и выдвинули гипотезу о полноте своего списка. Только значительно позже в 1969 году Сопову С. П. удалось доказать, что представленный ими список многогранников действительно полон .
Многие формы звёздчатых многогранников подсказывает сама природа. Например, снежинки - это плоские проекции звёздчатых многогранников. Некоторые молекулы имеют правильные структуры объёмных фигур.
Свойства многогранников:
Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.
Свойство 2. Выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.
Свойство 3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.
Свойство 4. В любом выпуклом многограннике найдется грань с числом ребер меньшим или равным пяти .
Не все перечисленные виды многогранников изучаются и применяются в начальной школе. Чаще всего ученики на уроках математики знакомятся с кубом, многоугольником, пирамидой, цилиндром, параллелепипедом. Примером авторов учебников являются ИстоминаА.И. 3 класс, Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б. 3 класс, Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П. 3 класс; так же начинают, знакомятся во 2 классе это пример учебников Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н. 2 класс.
Таким образом, рассмотрели понятия многогранника и его свойства. Перечислили виды многогранника. Ознакомились с историей открытия многогранника. Установили, что многогранники имеют большое значение в природе и для человека. Так, например, многогранники применяются в конструировании.
Цель урока:
Наглядность: таблицы, модели.
Ход урока
I. Организационный момент. Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
II. Изучение нового материала/
Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести “Правильные многогранники”. Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета.
Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. “Правильных многогранников вызывающе мало, – написал когда-то Л. Кэролл, – но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук”.
Определение правильного многогранника.
Многогранник называется правильным, если:
Теорема: Существует пять различных (с точностью до подобия) типов правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр (куб), правильный октаэдр, правильный додекаэдр и правильный икосаэдр.
Таблица 1. Некоторые свойства правильных многогранников приведены в следующей таблице.
| Вид грани | Плоский угол при вершине | Вид многогранного угла при вершине | Сумма плоских углов при вершине | В | Р | Г | Название многогранника |
| Правильный треугольник | 60º | 3-гранный | 180º | 4 | 6 | 4 | Правильный тетраэдр |
| Правильный треугольник | 60º | 4-гранный | 240º | 6 | 12 | 8 | Правильный октаэдр |
| Правильный треугольник | 60º | 5-гранный | 300º | 12 | 30 | 20 | Правильный икосаэдр |
| Квадрат | 90º | 3-гранный | 270º | 8 | 12 | 6 | Правильный гексаэдр (куб) |
| Правильный треугольник | 108º | 3-гранный | 324º | 20 | 30 | 12 | Правильный додекаэдр |
Рассмотрим виды многогранников:
Правильный тетраэдр
<Рис. 1>
Правильный октаэдр
<Рис. 2>
Правильный икосаэдр
<Рис. 3>
Правильный гексаэдр (куб)
<Рис. 4>
Правильный додекаэдр
<Рис. 5>
Таблица 2. Формулы для нахождения объемов правильных многогранников.
| Вид многогранника | Объем многогранника |
| Правильный тетраэдр | |
| Правильный октаэдр | |
| Правильный икосаэдр | |
| Правильный гексаэдр (куб) | |
| Правильный додекаэдр |
“Платоновые тела”.
Куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением “крыш” на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен – ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!
Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, XII книга знаменитых начал Евклида. Эти многогранники часто называют так же платоновыми телами в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном. Четыре из них олицетворяли четыре стихии: тетраэдр-огонь, куб-землю, икосаэдр-воду и октаэдр-воздух; пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание. Его по латыни стали называть quinta essentia (“пятая сущность”).
Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому, было не трудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы, например: куб – монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр – монокристалл алюмокалиевых квасцов ((KAlSO 4) 2 ·l2H 2 O). Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS). Имея же додекаэдр нетрудно построить и икосаэдр: его вершинами будут центры 12 граней додекаэдра.
Где еще можно увидеть эти удивительные тела?
В очень красивой книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля “Красота форм в природе” можно прочитать такие строки: “Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы”. Создания природы, приведенные в этой книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Но здесь видны одноклеточные организмы – феодарии, форма которых точно передает икосаэдр. Чем же вызвана эта природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший объем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.
Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет по теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ. Следующая задача проиллюстрирует эту мысль.
Задача. Модель молекулы метана CH 4 имеет форму правильного тетраэдра, в четырех вершинах которого находятся атомы водорода, а в центре – атом углерода. Определить угол связи между двумя CH связями.
<Рис. 6>
Решение. Так как правильный тетраэдр имеет шесть равных ребер, то можно подобрать такой куб, чтобы диагонали его граней были ребрами правильного тетраэдра. Центр куба является и центром тетраэдра, ведь четыре вершины тетраэдра являются и вершинами куба, а описываемая около них сфера однозначно определяется четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости.
Треугольник АОС – равнобедренный. Отсюда а – сторона куба, d – длина диагонали боковой грани или ребро тетраэдра. Итак, а = 54, 73561 0 и j = 109,47 0
Задача. В кубе из одной вершины (D) проведены диагонали граней DA, DB и DC и концы их соединены прямыми. Доказать, что многогранник DABC, образованный четырьмя плоскостями, проходящими через эти прямые, – правильный тетраэдр.
<Рис. 7>
Задача. Ребро куба равно a. Вычислить поверхность вписанного в него правильного октаэдра. Найти ее отношение к поверхности вписанного в тот же куб правильного тетраэдра.
<Рис. 8>
Обобщение понятия многогранника.
Многогранник – совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что:
Эти многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами, а их вершины – вершинами многогранника.
Приведенное определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник:
– если под многоугольником понимают плоские замкнуты ломаные (хотя бы и само пересекающиеся), то приходят к данному определению многогранника;
– если под многоугольником понимать часть плоскости, ограниченной ломанными, то с этой точки зрения под многогранником понимают поверхность, составленную из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое так же называют многогранником. От сюда возникает третья точка зрения на многогранники как на геометрические тела, при чем допускается также существование у этих тел “дырок”, ограниченных конечным числом плоских граней.
Простейшими примерами многогранников являются призмы и пирамиды.
Многогранник называется n- угольной пирамидой, если он имеет одной своей гранью (основанием) какой-либо n- угольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной, не лежащей в плоскости основания. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.
Многогранник называется n -угольной призмой, если он имеет двумя своими гранями (основаниями) равные n -угольники (не лежащие в одной плоскости), получающиеся друг из друга параллельным переносом, а остальные грани – параллелограммы, противоположными сторонами которых являются соответственные стороны оснований.
Для всякого многогранника нулевого рода эйлерова характеристика (число вершин минус число ребер плюс число граней) равна двум; символически: В – Р + Г = 2 (теорема Эйлера). Для многогранника рода p справедливо соотношение В – Р + Г = 2 – 2p .
Выпуклым многогранником называется такой многогранник, который лежит по одну сторону от плоскости любой его грани. Наиболее важны следующие выпуклые многогранники:
<Рис. 9>
III. Задание на дом.
IV. Решение задач № 279, № 281.
V. Подведение итогов.
Список использованной литературы:
Цель урока:
Наглядность: таблицы, модели.
Ход урока
I. Организационный момент. Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.
II. Изучение нового материала/
Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести “Правильные многогранники”. Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета.
Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. “Правильных многогранников вызывающе мало, – написал когда-то Л. Кэролл, – но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук”.
Определение правильного многогранника.
Многогранник называется правильным, если:
Теорема: Существует пять различных (с точностью до подобия) типов правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр (куб), правильный октаэдр, правильный додекаэдр и правильный икосаэдр.
Таблица 1. Некоторые свойства правильных многогранников приведены в следующей таблице.
| Вид грани | Плоский угол при вершине | Вид многогранного угла при вершине | Сумма плоских углов при вершине | В | Р | Г | Название многогранника |
| Правильный треугольник | 60º | 3-гранный | 180º | 4 | 6 | 4 | Правильный тетраэдр |
| Правильный треугольник | 60º | 4-гранный | 240º | 6 | 12 | 8 | Правильный октаэдр |
| Правильный треугольник | 60º | 5-гранный | 300º | 12 | 30 | 20 | Правильный икосаэдр |
| Квадрат | 90º | 3-гранный | 270º | 8 | 12 | 6 | Правильный гексаэдр (куб) |
| Правильный треугольник | 108º | 3-гранный | 324º | 20 | 30 | 12 | Правильный додекаэдр |
Рассмотрим виды многогранников:
Правильный тетраэдр
<Рис. 1>
Правильный октаэдр
<Рис. 2>
Правильный икосаэдр
<Рис. 3>
Правильный гексаэдр (куб)
<Рис. 4>
Правильный додекаэдр
<Рис. 5>
Таблица 2. Формулы для нахождения объемов правильных многогранников.
| Вид многогранника | Объем многогранника |
| Правильный тетраэдр | |
| Правильный октаэдр | |
| Правильный икосаэдр | |
| Правильный гексаэдр (куб) | |
| Правильный додекаэдр |
“Платоновые тела”.
Куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением “крыш” на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен – ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!
Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, XII книга знаменитых начал Евклида. Эти многогранники часто называют так же платоновыми телами в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном. Четыре из них олицетворяли четыре стихии: тетраэдр-огонь, куб-землю, икосаэдр-воду и октаэдр-воздух; пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание. Его по латыни стали называть quinta essentia (“пятая сущность”).
Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому, было не трудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы, например: куб – монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр – монокристалл алюмокалиевых квасцов ((KAlSO 4) 2 ·l2H 2 O). Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS). Имея же додекаэдр нетрудно построить и икосаэдр: его вершинами будут центры 12 граней додекаэдра.
Где еще можно увидеть эти удивительные тела?
В очень красивой книге немецкого биолога начала нашего века Э. Геккеля “Красота форм в природе” можно прочитать такие строки: “Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы”. Создания природы, приведенные в этой книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Но здесь видны одноклеточные организмы – феодарии, форма которых точно передает икосаэдр. Чем же вызвана эта природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший объем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.
Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет по теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ. Следующая задача проиллюстрирует эту мысль.
Задача. Модель молекулы метана CH 4 имеет форму правильного тетраэдра, в четырех вершинах которого находятся атомы водорода, а в центре – атом углерода. Определить угол связи между двумя CH связями.
<Рис. 6>
Решение. Так как правильный тетраэдр имеет шесть равных ребер, то можно подобрать такой куб, чтобы диагонали его граней были ребрами правильного тетраэдра. Центр куба является и центром тетраэдра, ведь четыре вершины тетраэдра являются и вершинами куба, а описываемая около них сфера однозначно определяется четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости.
Треугольник АОС – равнобедренный. Отсюда а – сторона куба, d – длина диагонали боковой грани или ребро тетраэдра. Итак, а = 54, 73561 0 и j = 109,47 0
Задача. В кубе из одной вершины (D) проведены диагонали граней DA, DB и DC и концы их соединены прямыми. Доказать, что многогранник DABC, образованный четырьмя плоскостями, проходящими через эти прямые, – правильный тетраэдр.
<Рис. 7>
Задача. Ребро куба равно a. Вычислить поверхность вписанного в него правильного октаэдра. Найти ее отношение к поверхности вписанного в тот же куб правильного тетраэдра.
<Рис. 8>
Обобщение понятия многогранника.
Многогранник – совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что:
Эти многоугольники называются гранями, их стороны – ребрами, а их вершины – вершинами многогранника.
Приведенное определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить многоугольник:
– если под многоугольником понимают плоские замкнуты ломаные (хотя бы и само пересекающиеся), то приходят к данному определению многогранника;
– если под многоугольником понимать часть плоскости, ограниченной ломанными, то с этой точки зрения под многогранником понимают поверхность, составленную из многоугольных кусков. Если эта поверхность сама себя не пересекает, то она есть полная поверхность некоторого геометрического тела, которое так же называют многогранником. От сюда возникает третья точка зрения на многогранники как на геометрические тела, при чем допускается также существование у этих тел “дырок”, ограниченных конечным числом плоских граней.
Простейшими примерами многогранников являются призмы и пирамиды.
Многогранник называется n- угольной пирамидой, если он имеет одной своей гранью (основанием) какой-либо n- угольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной, не лежащей в плоскости основания. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.
Многогранник называется n -угольной призмой, если он имеет двумя своими гранями (основаниями) равные n -угольники (не лежащие в одной плоскости), получающиеся друг из друга параллельным переносом, а остальные грани – параллелограммы, противоположными сторонами которых являются соответственные стороны оснований.
Для всякого многогранника нулевого рода эйлерова характеристика (число вершин минус число ребер плюс число граней) равна двум; символически: В – Р + Г = 2 (теорема Эйлера). Для многогранника рода p справедливо соотношение В – Р + Г = 2 – 2p .
Выпуклым многогранником называется такой многогранник, который лежит по одну сторону от плоскости любой его грани. Наиболее важны следующие выпуклые многогранники:
<Рис. 9>
III. Задание на дом.
IV. Решение задач № 279, № 281.
V. Подведение итогов.
Список использованной литературы:
Трёхгранные и многогранные углы:
Трёхгранным углом называется фигура
образованная тремя плоскостями, ограниченными тремя лучами, исходящими из
одной точки и не лежащей в одной
плоскости.
Рассмотрим какой-нибудь плоский
многоугольник и точку лежащую вне
плоскости этого многоугольника.
Проведём из этой точки лучи,
проходящие через вершины
многоугольника. Мы получим фигуру,
которая называется многогранным
углом.
